Novice

Hanojski stolp? Natakar, še eno rundo!

Datum objave: 27.01.2021

Ne davno tega mi je študent – ko sem na predavanjih opisoval reševanje matematične uganke hanojski stolp – zastavil skoraj, vendar ne docela nezaslišano vprašanje: »A vi razumete to rešitev al ste jo prepisal :D«

Obstaja legenda, ki pravi, da je v znamenitem indijskem templju Kaši Višvanath* velika soba s tremi starimi stebri, na katerih je nanizanih 64 zlatih diskov. V njej hindujski duhovniki, zavezani starodavni prerokbi, že od stvaritve sveta naprej premikajo te diske v skladu s strogimi pravili boga Brahme:

fajfar blog 1

Legenda pravi, da se bo v trenutku, ko bodo duhovniki zaključili zadnjo potezo uganke, svet končal (glede na potrebno minimalno število potez za rešitev uganke se nam tega ni treba bati).

Nalogo je mogoče rešti z naslednjo funkcijo (napisano v Pythonu):

fajfar blog 2

Ob klicu funkcije z ustreznimi parametri (n je število diskov, s1 do s3 pa so oznake stebrov) se na zaslon izpišejo navodila za premike posameznih diskov.

Gornji zapis rešitve predstavlja izjemno elegantno uporabo načela rekurzije. Opazovalec, ki takšnih zapisov ni vajen, se čudi, od kod rešitev sploh pride. Ni namreč videti, da bi bil postopek kjerkoli izrecno zapisan. In vendar deluje. V tem trenutku se popolnoma upravičeno pojavi dvom v razumevanje takšne rešitve.

Aristotel je opazil, da lažji predmeti padajo proti tlom počasneje kot težji. Ta drobna zmota ni nič proti osupljivemu dejstvu, da je trajalo skoraj 2000 let preden je Galileo ugotovil, da to ne drži (in še stoletje, da je Newton zapisal matematično enačbo za silo privlaka med dvema telesoma). Šele več kot 300 let kasneje je David R. Scott s kladivom in peresom na Luni potrdil Galileovo teorijo, da predmeti v vakumu zaradi gravitacije padajo z isto hitrostjo, ne glede na svojo težo.

Gravitacijo razumemo. Otrok že zelo zgodaj ugotovi, da gravitacija obstaja in kako njen učinek s pridom uporabiti – s pomočjo zabavne igre, kjer znova in znova meče na tla reči, ki jih starši potem nejevoljno pobirajo. Čeprav si je nekoliko težje zamisliti, da pero pade na tla enako hitro kot kladivo, pa si kljub temu veliko ljudi to brez težav predstavlja. Zračni upor namreč čutimo in ni ga težko izločiti iz enačbe. Tudi to torej razumemo. Zelo malo ljudi pa razume Einsteinovo ukrivljenost prostora-časa. To enostavno ni nekaj, kar bi bila naša vsakodnevna izkušnja. Vendar, če se z modelom dovolj dolgo poigravamo v mislih, postane tudi ukrivljenost prostora-časa naša abstraktna izkušnja. In izkušnja pomeni razumevanje. Le izkušnja nam lahko pomaga zgraditi predstavo o svetu v smislu vzrokov in posledic, zaradi česar svet razumemo.

Pa ga res? Razumevanje na podlagi izkušenj je ključnega pomena za preživetja posameznika in vrste. Težava nastopi, ko želimo razumeti reči, ki presegajo zmožnosti izkustva in intuicije. Na srečo smo ljudje sposobni abstraktnih izkušenj, pri čemer nas sleherna takšna izkušnja popelje še korak globlje v skrivnosti življenja, vesolja in sploh vsega. A bolj ko prodiramo, bolj se pojavljajo nova in nova vprašanja. Zakaj obstaja gravitacija in kaj jo povzroča? Ali bi bilo vesolje enako, če bi gravitacija delovala nekoliko drugače? Zakaj sploh karkoli obstaja? Natakar, še eno rundo, prosim!

hanojski stolp

Rešitev uganke hanojskega stolpa, ki je povzročila, da je študent podvomil v profesorja, za večino ljudi seveda ni prav dosti izkustvena in intuitivna. Tudi sam sem se podobnim rešitvam nekoč čudil (in se še vedno, če sem prav iskren), vendar so sčasoma postale del moje izkušnje in zdaj lahko rečem, da seveda razumem, kako stvar deluje. Vendar, vprašanje še vedno ostaja: Ali zares razumem, ali sem rešitev zgolj prepisal (po nekem davno naučenem postopku v glavi, ki je postal del moje izkušnje)? Matematiki se že dolgo sprašujejo: Ali matematiko izumljamo ali jo odkrivamo? Gornja rešitev uganke je tako preprosta in elegantna, da je težko verjeti, da gre za človeški izum. Poleg tega so na primer fraktalni vzorci (ki so tudi rekurziven pojav) obstajali v naravi že davno preden se je rodil prvi človek. In če smo rekurzijo zgolj odkrili, od kod izvira? Je to nekaj, kar obstaja v vsakem zamisljivem svetu ali morajo za njen nastanek obstajati določeni pogoji? In zakaj sploh je? Natakar, še eno rundo!

Ko smo ob pomladnem zaprtju preklopili na predavanja na daljavo, me je precej potrlo dejstvo, da sem – z vsemi svojimi izkušnjami – potreboval skoraj 14 dni, da sem lahko (nekako) nadaljeval s predavanji. Sploh po tem, ko so mi nekateri sodelavci zatrjevali, da ni to nič posebnega. Da so iz predavalnice enostavno preklopili na daljavo. Brez kakršnihkoli težav. Tu bi se lahko našel kakšen »zloben« študent (ali študentka), ki bi vprašal: »A vi razumete to vaše predavanje al ste samo prekopiral PowerPoint iz predavalnice :D« Po prvem šoku smo se seveda prej ko slej prav vsi (tudi tisti, ki se najprej niso) sami od sebe vprašali prav to. Predavanj na daljavo (še) ne razumemo prav dobro. Ne razumemo, kako jih doživlja večina študentov. Ne poznamo najučinkovitejšega pristopa. Šele odkrivamo osnovne principe. Medij komunikacije je popolnoma drug. Zakonitosti so drugačne. Izkušenj je malo.

No, nekaj malega pa zdaj po enem letu pogovarjanja z ekrani že vemo. So slabosti, vendar so tudi prednosti. V predavalnici s 100 in več študenti jih je malo takšnih, ki se upajo izpostaviti z vprašanji. Komunikacija v veliki meri poteka preko pogledov – od začudenih do tistih iskreno razsvetljenih. Aktivna diskusija v predavalnici s 100 študenti je mogoča, vendar, ko se razplamti, se ne umiri tako zlahka. Vzame »preveč« časa. Preko besedilnega pogovora v aplikaciji Zoom so študenti bolj pogumni. Ne čutijo izpostavljenosti. Zastavljajo iskrena (in pronicljiva) vprašanja. To je njihov neprecenljiv prispevek. Po drugi strani – ker ni neposredne množične interakcije – še tako velika količina vprašanj ne zmoti ritma predavanja (uf, prehitro, še sreča, da se predavanja snemajo). Vse to je dobro. Ni pa dobro, da so hodniki prazni. Ni dobro, da ni osebnega stika. Elektronski mediji so slabi prevodniki navdušenja in medsebojnega vzpodbujanja. V vseh smereh.

Na koncu upam, da bo kmalu spet zavrvelo med praznimi stenami fakultetnih poslopij. Da se akademsko dogajanje hitro vrne v stare (in preizkušene) tirnice, vendar obogateno z novimi izkušnjami. Ne glede na vse pa bo življenje vedno ponujalo skrivnosti, ki jih (še) ne razumemo. In to nas žene naprej. V dobrem in slabem.

 

prof. dr. Iztok Fajfar

 

-----------------------------------------
* Različni viri navajajo druge templje ali samostane na različnih koncih sveta, med drugim tudi v mestu Hanoj, po katerem ima uganka ime.